Trigonometría avanzada
Existe una ampliación más allá del triángulo
Las razones trigonométricas van a dar razón a funciones trigonométricas (que devuelven un valor para ángulos de "imposibles" en el triángulo rectángulo como 0º, 90º,200º....) cuando las situemos en un entorno llamado circunferencia unidad o goniométrica.
La Circunferencia Unitaria o Goniométrica.
La circunferencia unitaria es una circunferencia que:
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Tiene su centro en el origen de coordenadas (punto donde se cruzan los ejes X e Y)
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Su radio es igual a 1 unidad.
Si trazamos un ángulo cualquiera dentro de ella:
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con centro en el origen O
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apoyado en el semieje OX
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de amplitud alfa
Este ángulo cortará a la circunferencia en un punto P de coordenadas x e y.
Vamos a analizar el seno y coseno del ángulo....
Gracias al radio unidad, el seno se corresponde con la coordenada y...
... y el coseno con la coordenada x del punto P.
Además, en esta circunferencia, el ángulo podremos utilizar valores del ángulo que nos llevan más allá del triángulo rectángulo (alfa estará entre 0º y 360º)... lo que permitirá valores negativos del seno y el coseno. Pasaremos a redefinir las razones como funciones:
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La función seno será la coordenada y del punto P para el valor de alfa dado.
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La función coseno será la coordenada x del punto P para el valor de alfa dado.
Podremos deducir que los valores de seno y coseno nunca serán inferiores a -1, ni mayores de 1. Sus signos dependerán del cuadrante en que se encuentre el punto P:
Esto será de suma utilidad en otras ramas de Matemáticas y Física, como iremos viendo posteriormente.
Os dejo un vídeo resumen de lo visto aquí por si os ayuda.
Identidades Trigonométricas
Las identidades son igualdades algebraicas que se cumplen para todo valor de x (o las variables involucradas). Gracias al Teorema de Pitágoras llegaremos a la primera y más importante de las identidades trigonométricas:
Esta identidad es fundamental, puesto que nos ayuda a conocer el valor del seno (dado el coseno) y viceversa.
No menos importante es la identidad que relaciona las tres razones trigonométricas fundamentales. Vemos su demostración a continuación:
Si dividimos la primera identidad entre coseno al cuadrado... o alternativamente entre seno al cuadrado obtendremos otras identidades conocidas..
Por si os resulta complidado de entender en los dibujos, os dejo un vídeo resumen de lo visto aquí por si os ayuda.
Ejercicios resueltos
Hallar coseno y tangente dado el seno
Calcular razones sabiendo el coseno
Hallar razones a partir de la tangente
Hallar 2 ángulos con el mismo seno
Reducir ángulos al primer cuadrante
