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- Geometría Analítica 2D -
La Geometría Analítica es una rama de las matemáticas que une el álgebra y la geometría, usando un sistema de coordenadas (como el plano cartesiano) para representar figuras geométricas (puntos, rectas, curvas) mediante ecuaciones, y viceversa, permitiendo resolver problemas geométricos con herramientas algebraicas y viceversa, y es fundamental para la ingeniería, diseño y gráficos por computadora. Nos centraremos aquí en puntos, rectas y sus relaciones.
0. Vectores en el plano (ver)
1. Ecuaciones de la recta
La recta podrá ser representada algebraicamente de diversas maneras. Algunas de ellas usarán un vector director que define la dirección de dicha recta. Otras utilizarán la pendiente como parámetro fundamental.
Nociones básicas sobre rectas
Ecuaciones de la recta
1.1 Ecuación vectorial
Podremos llegar desde el origen a cualquier punto de la recta sumando 2 vectores. Usando un punto P el vector director de la recta. (vídeo -->)
1.2 Ecuaciones paramétricas
Partimos de la ecuación vectorial, y planteamos una ecuación separada para cada una de las 2 variables del punto genérico de la recta.
1.3 Ecuación continua
Despejando el parámetro k en las ecuaciones paramétricas e igualando las expresiones obtenidas llegamos a esta ecuación de la recta.
1.4 Ecuación general o implícita
Esta ecuación no muestra ni punto ni vector de forma explícita, pero es muy manejable para calcular intersecciones y posiciones relativas.
1.5 Ecuación explícita
Orientada a la pendiente y a una rápida representación gráfica. Se puede confundir con las funciones lineales.
Extra: Obtener vectores de una recta
2. Posiciones relativas entre rectas
Dos rectas paralelas tendrán la misma pendiente. Serán coincidentes si tienen, además un punto en común.
Dos rectas perpendiculares tendrán pendientes cuyo producto es -1.
(Es más recomendable usar vectores)
2.1. Usando su pendiente
2.2. Usando vectores directores
Dos rectas paralelas tendrán vectores linealmente dependientes (coordenadas proporcionales). Serán coincidentes si tienen, además un punto en común.
Dos rectas perpendiculares tendrán pendientes cuyo producto escalar es 0.
Dos rectas paralelas tendrán sus parámetros A y B proporcionales con A' y B'. Serán coincidentes si C y C' siguen la misma proporción.
Dos rectas perpendiculares cumplirán que A·A'+B·B'= 0. Es debido a que el vector director es (-B,A)
2.3. Usando ecuación general
2.4. Punto de intersección entre 2 rectas.
Dos rectas secantes, sean perpendiculares o no, cortarán en 1 punto.
Para hallarlo, sólo deberemos resolver el sistema de ecuaciones que se forma con las dos rectas.
3. Distancias y ángulos entre rectas
3.1 Distancia de punto P a recta r
Para hallar la distancia de un punto a una recta se emplea una fórmula que no parece tener mucho sentido. Creo importante analizar su demostración para recordarla y aplicarla con mayor seguridad y conocimiento de lo que se hace.
Debo aclarar, no obstante, que el método cambiará cuando se haga en el espacio (r3), en el que lo haremos según una aplicación del producto vectorial.
3.2. Distancia entre 2 rectas en el plano.
Para hallar la distancia entre 2 rectas en el plano, tomaremos un punto cualquiera en una de ellas P, para luego utilizar el método anterior para hallar la distancia de ese punto a la otra recta.
3.3. Ángulo entre dos rectas en el plano
Para hallar el ángulo entre dos rectas calcularemos el ángulo entre sus vectores directores. Este ángulo se calcula gracias a las 2 fórmulas del producto escalar de 2 vectores. (Se obtiene igualando ambas expresiones)
Ejercicio resuelto -->
4. Problemas de aplicación
4.1. Ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares
Ecuación de recta paralela
Ecuación de recta perpendicular
Recta pasando por intersección de 2
Ecuación de perpendicular (caso 2)
.png)
4.2. Problemas de aplicación de módulo de un vector
4.3. Comprobación de puntos alineados
Ecuaciones de rectas
Posiciones Relativas
Problemas
Distancias y ángulos
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