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Derivadas

1. Concepto de Derivada

La derivada de f (x) con respecto a x es la función f′ (x) y se define como:

def de derivada.png

Concepto de Derivada

1.1 Derivadas usando su definición

Soluciones en vídeo a la derecha

 

a) f (x) = 3x + 2                        (min 1:22)

b) f(x) = 2x^2 - 3x +5            (min 2:48) 

Soluciones en vídeo a la izquierda 

a) f (x) = x^2 - 1                                (min 1:32) 

b) f ' (2) para la función anterior     (min 5:20)

Solución en vídeo a la derecha

 

Siendo f (x) =raíz(6x + 1), calcular f ' (8) usando la definición de derivada

2. Propiedades y Fórmulas para hallar Derivadas

Propiedad 1. La derivada de la suma es igual a la suma de derivadas:

derivada de suma.png

Propiedad 2. La derivada del producto de una constante y una función es igual a la constante por la derivada de la función.

derivada constante producto.png

Fórmula 1. La derivada de una constante (número) es 0. (Es fácil de entender usando el concepto de pendiente...)

Derivada de k.png

Fórmula 2. La derivada de una potencia de x es igual a su exponente multiplicado por la misma potencia con el exponente reducido una unidad.

derivada de una potencia.png

Practica: Derivadas de funciones polinómicas​

Ejercicio 1:

ejer 1 derivadas.png

Ejercicio 2:

ejer 2 derivadas.png

Practica 2: Derivadas de funciones racionales (potencia neg.)​

Ejercicio 3:

ejer 3 derivadas.png

Practica 3: Derivadas de funciones con raíz (potencia frac.)​

Ejercicio 4:

ejer 4 derivadas.png
2.1 Derivada de un producto y de un cociente

Si derivamos el producto de dos funciones no constantes, veremos que la derivada de su producto no da lo mismo que el producto de sus derivadas.

producto de derivadas no es.png

Propiedad 3. La derivada del producto NO es el producto de derivadas. En su lugar emplearemos la regla del producto:

derivada del producto.png

Propiedad 4. La derivada del cociente NO es el cociente de derivadas. (Dividir es multiplicar por el inverso). La regla del cociente quedará:

derivada del cociente.png

Practica: Derivadas de productos​ y cocientes

Ejercicio 5:

ejercicio 5 derivadas.png

Ejercicio 6:

ejercicio 6 derivadas.png

Ejercicio 7:

ejercicio 7 derivadas.png
3. Regla de la cadena

Supongamos dos funciones f (x) y g (x), ambas derivables.

        Si definimos H(x) como ( f o g ) (x), entonces:

regla de la cadena.png

Podríamos resumirla diciendo que la derivada de una función compuesta se hace "de fuera hacia adentro". Pero lo mejor es verlo en algunos ejemplos.

Ejemplo 1:

regla de la cadena ejemplo 1.png

Ejemplo 2:

regla de la cadena ejemplo 2.png

Para aprovechar realmente la regla de la cadena, debemos aprender más derivadas de distintas funciones: exponenciales, logarítmicas, trigonométricas...

4. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

La única función cuya derivada es ella misma está en este bloque. La derivada del logaritmo no es fácil de deducir, aunque no se nos pide que lo hagamos todavía...

formulas derivacion exponenciales y logaritmos.png

Ejercicio 8:

Ejercicio 9:

ejercicio 9 derivadas.png

Ejercicio 10:

ejercicio 10  derivadas.png
5. Derivadas de funciones Trigonométricas (e inversas)
formulas derivacion trigonométricas.png

Ejercicio 11:

ejercicio 11 derivadas.png

Ejercicio 12:

ejercicio 12 derivadas.png

Sigue practicando....

Derivabilidad función a trozos

Resumen en 26 minutos de derivadas

Derivadas usando su definición
Primeras derivadas
Derivada de un producto y un cociente
Regla de la Cadena
Derivadas de exponenciales y logarítmicas
Derivadas de trigonométricas y más
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