Límites
(Definición Informal): Límite de una función f(x) en un punto x=a, como el valor (finito o infinito) al que se acerca la función a medida que los valores de x se aproximan cada vez más al valor a
La aproximación al punto con x=a se puede hacer por la izquierda o por su derecha: son los límites laterales de la función en el punto. El límite existirá, si existen los dos límites laterales y ambos tienen el mismo valor.
Por otro lado, definimos límite de una función en el infinito, como el valor (finito o infinito) al que se acerca la función a medida que los valores de x se hacen cada vez mayores o menores, respectivamente.
Cálculo de límites: indeterminaciones
Cuando calculamos un límite de una función, a partir de su expresión algebraica, lo primero que intentamos es hallar el valor numérico de la función en el límite. Si este resultado tiene sentido, habremos calculado el límite.
Sin embargo, en algunas ocasiones, obtenemos resultados que no se pueden calcular, estos resultados se llamarán indeterminaciones
Indeterminaciones K/0
Una indeterminación del tipo k/0 ocurre cuando al calcular el límite en un punto, la función del denominador tiende a cero pero la del numerador no. El resultado es siempre infinito, pero para ver el signo se hace el límite cuando x tiende al punto por la izquierda y el límite cuando tiende por la derecha.
Indeterminaciones 0/0
Se resuelven hallando expresiones equivalentes a las del límite original. Los procedimientos más empleados son:
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Factorización y simplificación: Empleado en el caso de fracciones algebraicas.
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Multiplicar y dividir por el conjugado: Empleado en expresiones con raíces.
Indeterminaciones ∞/∞
Podemos encontrarnos con dos casos distintos según las expresiones de numerador y denominador:
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Si son ambas polinómicas, debemos dividir numerador y denominador entre x elevada a la mayor potencia que tengan (la que marca el grado). Esto hará que el límite se pueda calcular.
-
Si alguna no es polinómica, se tiene en cuenta el siguiente orden de infinitos, de forma que el mayor "se impone" sobre el otro: Exponenciales > Polinómicas > Logarítmicas
Indeterminaciones 0·∞
Estas indeterminaciones se pueden convertir en otras del tipo 0/0 o ∞/∞
Para ello sólo tenemos que aplicar la propiedad de que: multiplicar por un número, da el mismo resultado que dividir entre su inverso. Veamos algunos ejemplos:
Indeterminaciones ∞-∞
Las indeterminaciones de tipo infinito menos infinito se resuelven encontrando expresiones equivalentes a las del límite original mediante dos procedimientos:
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Operando la diferencia y transformando la indeterminación en otra distinta.
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Multiplicando y dividiendo la expresión por el conjugado de la misma (si tuviera raíces)
∞
Indeterminaciones 1
La indeterminación 1 elevado a ∞ es una de las más sencillas de resolver puesto que disponemos de una sencilla fórmula:
Indeterminaciones ∞⁰
La indeterminación infinito elevado a cero se presenta cuando el límite de una función tiende a un determinado número y aparecen dos términos en potencia uno tendiendo a infinito y el otro tendiendo a su vez a cero. Para resolver esta indeterminación se suele recurrir a técnicas de simplificación.
Indeterminaciones 0⁰
Para resolver este tipo de indeterminaciones, podremos usar la fórmula que os presentamos en el caso de 1 elevado a infinito:
Sin embargo lo más habitual es que la fórmula no sea suficiente...
En ese caso tendremos que pedir ayuda a la regla de L'Hôpital
Límites usando derivadas
La regla de L'Hôpital es realmente útil para resolver interminaciones 0/0 y ∞/∞
Dice lo siguiente:
Veamos en unos vídeos como se aplica para resolver esos casos:
No obstante, muchos otros límites se pueden resolver usando esta regla...
Os dejo unos ejemplos:
También os dejo este enlace a una página web con otros muchos resueltos: (enlace)