Inecuaciones
¿Qué es una inecuación?
Una inecuación, es una desigualdad algebraica (intervienen números y letras) en la que el signo que relaciona los dos miembros es del tipo:
-
< Mayor que
-
> Menor que
-
>= Mayor o igual que
-
<= Menor o igual que
El resultado de la desigualdad suele ser un conjunto de infinitos números (expresado con un intervalo de la recta real).
Inecuaciones de Grado 1 (lineales)
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Se resuelven utilizando los mismos procedimientos que hemos visto en las ecuaciones lineales.
Un detalle importante a tener en cuenta:
* Cuando multiplicamos o dividimos en ambos lados por un número negativo, debemos cambiar los signos
> se vuelve < y < se vuelve >
(Esto se debe a que esta operación, cambia a nuestra desigualdad de lado en la recta numérica, con lo que eso conlleva respecto al orden de los números).
Más ejemplos resueltos
Inecuación Cuadrática (2 métodos)
Las inecuaciones cuadráticas se pueden resolver empleando diversos métodos:
-
El más habitual, resuelve primero la ecuación cuadrática, para después dividir la recta numérica en 1, 2 o 3 intervalos en los que evaluaremos la expresión para hallar el signo correspondiente.
-
También se puede representar la función parabólica, y analizar los intervalos de x en los que la función están por encima o debajo del eje x.
Este método gráfico, no es exclusivo de las inecuaciones cuadráticas, aunque no parezca suficientemente rápido para usarlo en las inecuaciones lineales.
Con la ayuda de una aplicación como Geogebra, la resolución gráfica, es interesante para cualquier desigualdad.
Inecuaciones Racionales
Las inecuaciones racionales se pueden resolver de forma eficaz usando una tabla en la que recojamos el signo del numerador y denominador.
Para saber el signo de la fracción, bastará con utilizar la regla de los signos para la división de número enteros.
Inecuaciones de Grado 3 o superior
Las inecuaciones de grado 3 o superior se pueden resolver de forma eficaz usando una tabla en la que recojamos el signo de los factores del polinomio que se obtiene al hacer 0 en uno de los dos términos.
Para saber el signo de la expresión polinómica, bastará con utilizar la regla de los signos para la multiplicación de número enteros.
Inecuación con dos incógnitas
Las inecuaciones con dos incógnitas darán lugar siempre a infinitas soluciónes, que podrán representarse como una subregión en el plano cartesiano.
Cualquiera de los puntos pertenecientes a esa subregión cumplirá la condición dada en la desigualdad.
Sistemas de Inecuaciones
Sistemas con una incógnita
Los sistemas de inecuaciones con una incógnita se resolverán calculando la intersección de los intervalos que obtenemos resolviendo, por separado, cada una de las inecuaciones del sistema.
Pueden tener más de dos inecuaciones.
Caso particular:
Inecuación con valor absoluto: Se "traduce" a un sistema de dos inecuaciones y se resuelve como tal.
Sistemas con dos incógnitas (Gráficamente)
Los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas se resuelven gráficamente.
Debemos representar cada una de las desigualdades como una subregión del plano cartesiano. La intersección de las subregiones dará lugar a la región de soluciones, en la que todos los puntos cumplirán con las desigualdades planteadas.
Pueden plantearme sistemas con más de dos desigualdades. El procedimiento para resolver estos casos no difiere en nada del anterior caso.
Únicamente, tendremos que calcular la intersección de más de dos subregiones.
Desafío del día:
¿Serás capaz de obtener la inecuaciones a partir de una región de soluciones?
Problemas de Inecuaciones
Problemas con una incógnita:
Queremos saber el precio de una entrada en el teatro y nos comentan lo siguiente: "20€ no alcanzan para ir en pareja, pero con 50€ te sobra si quieres comprar 4 entradas".
¿Entre qué valores está el precio de una entrada, según esos comentarios?
Una empresa de alquiler de coches A cobra 100 € por las llaves, y 20 € más por cada día que usemos el coche.
En cambio, la empresa B cobra "sólo" 50 € por las llaves, sumado a 25 € por cada día de alquiler.
¿Cuándo resulta más rentable la empresa B?
Si tuviera el triple de lo que tengo en un bolsillo, me faltarían menos de 2€ para tener 20€; pero si tuviera el cuádruple, no llegaría a los 27 €.
¿Qué podemos decir del dinero que tengo?
Un padre decide ir a un concierto con sus hijas y tiene 150 soles. Si compra entradas de 30 soles, le falta dinero. Pero si compra entradas de 22 soles, le sobra.
¿Cuántas hijas tiene?
Problemas con dos incógnitas
Plantea las inecuaciones:
a) El número de piezas de tipo A será al menos el doble que las piezas de tipo B.
b) El número de piezas de tipo A superará como máximo en 50 unidades a las de tipo B.
Un fabricante de zapatos puede vender todos los pares que produce a un precio de 2.000 cada par. El fabricante tiene costos fijos mensuales de 24 millones. Si el cuero e insumos necesarios para producir cada par le cuesta 20.000, calcula el menor número de zapatos que debe producir al mes para tener ganancias.