Operaciones con Funciones
Nos interesa aprender a utilizar las operaciones aritméticas básicas con las funciones matemáticas. Me refiero a la suma, resta multiplicación y división.
Pero también veremos en este tema la novedosa composición de funciones. Que será de gran utilidad en temas posteriores.
Empecemos con las operaciones básicas. Dadas dos funciones f(x) y g(x) se definirían:
Veamos en este vídeo como se haría para las funciones:
f(x) = 5x-3
g(x) = 2x-1
Composición de Funciones
La composición de funciones es una operación matemática en la que obtenemos una función que obtiene para cada valor de x, el mismo resultado que si se aplicasen las dos funciones operadas de manera sucesiva. Es importante destacar que el orden en que se aplican SI altera el resultado, por lo que no tendrá la propiedad conmutativa.
Dadas dos funciones f(x) y g(x) se definirían:
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f compuesta de g: (g o f ) (x) = g [f (x)]
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g compuesta de f : (f o g ) (x) = f [g (x)]
Como puede observarse en el gráfico explicativo, la primera en evaluarse es la que está a la derecha de las dos... Mucho cuidado, porque esto genera confusión.
Veamos en este vídeo como se haría para las funciones:
f(x) = 5x - 3
g(x) = 2x - 1
Practica y corrige...
f(x) = x^2 - 3
g(x) = 3 - x
Lo complicamos con denominadores...
f(x) = (2x + 1) / 3
g(x) = (x - 2) / 4
Propiedades de las Composición de Funciones
La composición de funciones tendrá la propiedad asociativa:
f o (g o h) = (f o g) o h
Como hemos dicho antes, en raras ocasiones cumplirá la conmutativa...
El elemento neutro será la función identidad, f (x) = x
f o id = id o f = f
El elemento simétrico será la función inversa...
Función inversa de una función
La función inversa de una función es aquella que, al componerse con la función original, da como resultado la función identidad (id ) que es f (x) = x
Nota importante: Para que f sea inversa de g, tanto f o g como g o f deben dar como resultado x.
Para calcular una función inversa, podremos seguir el siguiente método de 4 pasos. (más la comprobación que suele obviarse cuando ambas son polinómicas)
Veamos en este vídeo como se haría para las funciones:
a) f(x) = (x+5) / 3
b) g(x) = (4x-3) / (3x-8)
c) h(x) = (6-x)/(2x-3)