Números Complejos
¿Qué son los números complejos? (vídeo)
Un número complejo es una expresión de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es un símbolo abstracto, la llamada unidad imaginaria, cuyo significado se explicará más adelante (vídeo). Por ejemplo, 2 + 3i es un número complejo.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y se suelen considerar puntos del plano llamado plano complejo. En este plano la parte real nos aporta su coordenada x (abscisa), y la parte imaginaria nos indicaría su coordenada y (ordenada). (vídeo)
Suma y resta de números complejos
Dados dos números complejos a = x + yi y b = u + vi
se suman sumando por separado sus partes reales e imaginarias. Es decir:
a + b = (x + yi) + (u + vi) = (x + u) + (y + v)i
Del mismo modo, la resta se puede realizar como:
a - b = (x + yi) - (u + vi) = (x - u) + (y - v)i
La suma se puede visualizar geométricamente de la siguiente manera: la suma de dos números complejos a y b, interpretados como puntos en el plano complejo, es el punto que se obtiene construyendo un paralelogramo a partir de los tres vértices O, y los puntos de las flechas etiquetadas como a y b (siempre que no estén en una línea).
De manera equivalente, llamando a estos puntos A, B, respectivamente y al cuarto punto del paralelogramo X, los triángulos OAB y XBA son congruentes. (vídeo)
Producto de números complejos
Dados dos números complejos a = x + yi y b = u + vi
Su producto se calcula de la siguiente manera:
a · b = x·u - y·v + (x·v + yu)i
Por ejemplo,
(3 + 2i)·(4 - i) = 3·4 - 2·(-1) + [3·(-1) + 2·4]i = 14 + 5i
Con esta definición llegamos al conocido caso de i^2= -1
Es importante añadir, que la suma y la multiplicación tienen conmutativa, asociativa y distributiva, por lo que los complejos tienen la misma estructura algebraica que los números reales. (vídeo)
Complejos y ecuaciones polinómicas
Los números complejos permiten soluciones a todas las ecuaciones polinómicas, incluso a aquellas que no tienen soluciones en números reales. Más precisamente, el Teorema Fundamental del Álgebra afirma que toda ecuación polinómica no constante con coeficientes reales o complejos tiene una solución que es un número complejo.
i y sus potencias
