Razón entre 2 segmentos
La razón entre 2 segmentos AB y CD es el resultado de dividir la fracción que podemos escribir usando sus longitudes.
Segmentos proporcionales
Diremos que los segmentos AB y CD son proporcionales a los segmentos EF y GH cuando ambas parejas tengan la misma razón entre ellos.
1. Teorema de Thales
Sean 2 rectas secantes r y s. Si trazamos 2 o más rectas paralelas entre sí, que sean secantes a r y s, los segmentos que se forman en dichas rectas son proporcionales entre sí. Dicha proporcionalidad se mantiene a ambos lados de la intersección de r y s (siempre que tomes el segmento en el numerador de la misma recta).
Aplicación del Teorema: División de segmentos
La razón entre 2 segmentos AB y CD es el resultado de dividir la fracción que podemos escribir usando sus longitudes.
2. Figuras Semejantes
Dos figuras se consideran semejantes si su forma se mantiene, pero no así su tamaño.
En figuras poligonales (formadas por segmentos), para mantener la forma, deberán cumplirse 2 condiciones de forma simultánea:
- Los ángulos de ambas figuras deberán ser iguales.
- Los lados deberán ser proporcionales (lados homólogos)
IMPORTANTE: La razón entre los lados correspondientes u homólogos se denomina razón de semejanza.
- Será mayor de 1 cuando la nueva figura sea mayor (ampliación)
- Será menor de 1 cuando la nueva figura sea menor (reducción)
Aplicación de Figuras Semejantes: Escalas
La razón entre las longitudes o distancias en mapas, maquetas y copias a escala podrá ser aplicada para convertir las medidas reales en medidas del mapa o viceversa. En los mapas recibirá el nombre de escala y tendrá el aspecto 1:x (como x es mayor que 1, los mapas siempre son reducciones)
2.1. Triángulos Semejantes
Los triángulos son los único polígonos que requieren de unas simples comprobaciones para poder afirmar que son semejantes. Se resumen en los siguientes criterios:
- 2 ángulos iguales.
- 3 parejas de lados proporcionales
- 2 pares de lados proporcionales, y el ángulo que estos lados forman, igual.
Gracias a esta facilidad de comprobación, serán los más empleados para resolver problemas. En dichos problemas se aprovechará la proporcionalidad entre sus lados, alturas, perímetros... (Cualquier longitud en general del triángulo o polígono)
Caso particular: Triángulos en posición de Thales
Como podemos ver en el vídeo, existe una posición en la que no se exige comprobar ninguno de los criterios. En este caso se acepta que son semejantes por su disposición que recuerda al famoso teorema.
3. Áreas y Volúmenes usando Semejanza
Siendo r la relación entre dos longitudes, lo lógico es que sea r·r la relación entre áreas, puesto que el área es producto de longitudes. De igual forma, será r·r·r la relación entre volúmenes.
Ejercicios de Semejanza
Problemas de Semejanza
Teorema del cateto y de la altura (extraídos de la semejanza de triángulos)
- Teorema del cateto: En un triángulo rectángulo , el cuadrado de uno de los catetos es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa. (Demostración)
- Teorema de la altura: En un triángulo rectángulo , el cuadrado de la altura medida sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa. (Demostración)
Retos que usan Semejanza
