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- Vectores en Geometría -
1. Introducción
En experimentos científicos o de ingeniería, algunas de las cosas que se miden están completamente determinadas por su magnitud. Por ejemplo, la masa, la longitud o el tiempo se determinan mediante un número y una unidad de medida adecuada. Ej.: masa 10 kg, tiempo 3 s,...
En cambio, más información es necesaria para describir correctamente una fuerza, un desplazamiento o una velocidad.
Ej.: Desplazamiento de 15 km hacia el sur. Velocidad de 10 m/s dirección sureste.
Las cantidades que tienen dirección y magnitud se representan mediante flechas que apuntan en la dirección de la acción y cuyas longitudes indican la magnitud de la cantidad en términos de una unidad adecuadamente elegida.
Las flechas con la misma longitud y dirección se consideran equivalentes. Estas flechas son segmentos de línea dirigidos, y los conjuntos de segmentos equivalentes se denominan vectores.
En la figura de la izquierda vemos tres vectores. El vector que une los puntos A y B se llamará vector AB.
Se considera el mismo que el vector CD porque tiene su misma longitud (módulo), dirección (la de la recta que lo contiene) y sentido (el que nos da el extremo de la flecha.
En cambio, el vector EF se considera vector opuesto a AB, dada que comparten módulo y dirección, pero tienen el sentido opuesto.
2. Componentes de un vector.
Un vector puede nombrarse usando los nombres de los puntos que une, pero también se le llama genéricamente v.
Esta nomenclatura es más práctica cuando queremos identificar sus coordenadas cartesianas Vx e Vy. Para hallarlas, sólo debemos situarlo sobre el origen de coordenadas, o bien medir su avance horizontal y vertical.
Usando estas coordenadas, podremos calcular su longitud (módulo) usando el Teorema de Pitágoras.
3. Operaciones con vectores.
3.1. Suma
Dos vectores u y v se pueden sumar geométricamente dibujando un segmento de línea que represente u de A a B y luego un segmento de línea de B a C que represente v.
La suma u + v es el vector de A a C. Es decir, u + v = AC
En la imagen inferior se observa que la suma de vectores es conmutativa. Es decir,
u + v = v + u
Para sumar vectores algebraicamente, sumaremos sus coordenadas de forma separada. U+V = (Ux + Vx, Uy + Vy)
3.2. Resta
Se puede restar vectores de dos formas distintas:
-
La más habitual es sumar el vector opuesto. u - v = u + (-v)
-
La otra forma es situar los dos vectores compartiendo origen, para luego trazar el vector diferencia desde el extremo del sustraendo hasta el extremo del minuendo.
Para restar vectores algebraicamente, restaremos sus coordenadas de forma separada. U-V = (Ux-Vx, Uy-Vy)
3.3. Multiplicación por un escalar (número)
Multiplicar un vector por un escalar modifica su longitud de forma proporcional al número por el que se multiplica. Si el número es negativo, cambiará también el sentido de la flecha (lo gira 180º).
Para multiplicar por un escalar algebraicamente, multiplicaremos sus coordenadas por dicho escalar. 3·V = (3·Vx, 3·Vy)
Vídeo resumen de las 3 operaciones
4. Producto escalar.
El producto escalar de dos vectores da como resultado un número (escalar) y utiliza sus las longitudes de ambos, pero una de ellas la reduce a la longitud de su proyección ortogonal en el otro vector. Se puede calcular según 2 fórmulas distintas.
4.1. Aplicación: ángulo entre dos vectores
Gracias a las 2 fórmulas del producto escalar, podremos deducir una expresión para el coseno del ángulo entre los vectores. Así calcularemos dicho ángulo.
De la fórmula se deduce que dos vectores serán perpendiculares cuando su producto escalar sea cero.
4.2. Aplicación: vector paralelo y perpendicular
Dos vectores son paralelos si sus coordenadas son proporcionales. Serán perpendiculares cuando su producto escalar sea 0.
Ejercicio resuelto -->
5. Producto vectorial.
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